En álgebra abstracta, la teoría de
grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas
como grupos. Sus objetivos son,
entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones
tanto dentro como fuera de las matemáticas.
Los grupos sirven como pilar a otras
estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas
aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en
situaciones caracterizadas por la simetría. Además se aplican en astrofísica: quarks, solución de
acertijos: cubo de Rubik, en los códigos
binarios y en criptografía
El orden de un grupo es su cardinalidad;
en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples
de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.
Historia
Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría
de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores
que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta.Evaristè Galois es
reconocido como el primer matemático que relacionó esta teoría con la teoría de cuerpos, de lo que surgió la teoría de Galois.Además, usó la denominación de grupo o " inventó el
término[...]" según E.T.Bell. Otros importantes matemáticos que
contribuyen son Cayley,Emil Artin, Emmy Noether,
Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre muchos otros. Fue
Walter Dick quien en 1882, dio la
moderna definición de grupo y fue "el primero en definir el grupo libre
engendrado por un número finito de generadores", según Nicolás Bourbaki. A fines del siglo XIX, Frobenius definió grupo abstracto
con un sistema de axiomas.
